扇形面积公式推导过程（扇形面积公式推论）
wofa3 2025-11-25 15:20 11 浏览
扇形是圆的一部分,所以将圆的面积(圆周率乘半径的平方)除360度的每度的面积,扇形是几度就乘几得到S扇＝（n/360）πR^2又弧长L=nπR/180所以扇形的面积公式变形为S扇＝LR/2
（1）圆面积s=πr2；
（2）圆心角为1°的扇形的面积= πr2/360；
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；
（4）圆心角为n°的扇形的面积= nπr2/360．
解：对于扇形，设一个扇形的圆心角
为n°，设其半径为r,
设其弧长为l，
先考察它的弧长l与其所在的圆的周长c的关系。
圆周
所对的圆心角为360°，圆周
的长为
2πr，
扇形弧长
l=（360°/
n°）×（2πr）。
∴（1/2）l
=
（360°/
n°）×（πr）
圆的面积
为s=πr2，
扇形面积
则为（360°/
n°）×πr2=
（360°/
n°
×
πr）
×
r
=
（1/2）l
×
r
本题的关键是：扇形的弧长
=
圆周长
的（360°/
n°）倍；
扇形的面积
=
圆面积的（360°/
n°）倍；
原因是圆周
所对的圆心角为360°，扇形所对的圆心角是n°。
周长
与
弧长的比为
360°
：
n°
圆面积
与
扇形面积的比为
360°
：
n°
另一种思路是：将弧长l无限细分为n等份，将扇形也分为n等份这时每一份扇形的弧可看为直线，
这每一份扇形可看为三角形
，这每一份扇形面积为1/2×底（l/n)×高（即半径r)，由于有n等份，则大扇形面积为1/2×底（l/n)×高（即半径r)×n=（1/2）l
×
r
弧长公式推导：
设扇形弧长为L，半径为R，扇形圆心角为n度。
依据垂径定理，1度的圆心角所对的弧长为2兀R／360，即兀R／180，则n度的圆心角所对的弧长为：
L＝n兀R／180。①
扇形面积公式推导：
1度的圆心角所对的扇形面积为：兀R＾2／360，n度的圆心角所对的扇形面积为：
s＝n兀R＾2／360。②
①②结合，又能得到扇形面积为：
s＝RL／2。
扇形弧长
面积公式：n(圆心角)xπ（圆周率）xr平方（半径）/360
弧长=圆周率*弧所对的圆心角角度*弧与圆心的距离（半径）/180
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